Элемент. математика Примеры

$\frac{\sin (30) \cdot \cos (60)}{\tan (60)} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим дроби.

$\frac{\cos (60)}{1} \cdot \frac{\sin (30)}{\tan (60)} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.2

Выразим $\tan (60)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cos (60)}{1} \cdot \frac{\sin (30)}{\frac{\sin (60)}{\cos (60)}} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (60)}{\cos (60)}$ .

$\frac{\cos (60)}{1} (\sin (30) \frac{\cos (60)}{\sin (60)}) + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.4

Запишем $\sin (30)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{\cos (60)}{1} (\frac{\sin (30)}{1} \cdot \frac{\cos (60)}{\sin (60)}) + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Разделим $\sin (30)$ на $1$ .

$\frac{\cos (60)}{1} (\sin (30) \frac{\cos (60)}{\sin (60)}) + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.5.2

Объединим $\sin (30)$ и $\frac{\cos (60)}{\sin (60)}$ .

$\frac{\cos (60)}{1} \cdot \frac{\sin (30) \cos (60)}{\sin (60)} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.6

Разделим $\cos (60)$ на $1$ .

$\cos (60) \frac{\sin (30) \cos (60)}{\sin (60)} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.7

Точное значение $\cos (60)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (30) \cos (60)}{\sin (60)} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.8.1

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cos (60)}{\sin (60)} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.8.2

Точное значение $\cos (60)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\sin (60)} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.9

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.10

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2 \cdot 2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.11

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.12

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}) + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.13

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.13.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2 (2)} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}) + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}}) + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}) + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.14

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{3}} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.15

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{1}{2 \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}) + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.16

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.1

Умножим $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{3} \sqrt{3}} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.16.2

Перенесем $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 (\sqrt{3} \sqrt{3})} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.16.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.16.4

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.16.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{1 + 1}} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.16.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 {\sqrt{3}}^{2}} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.16.7

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.7.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.16.7.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.16.7.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.16.7.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.16.7.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{\frac{2}{2}}} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.16.7.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3^{1}} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.16.7.5

Найдем экспоненту.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 3} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.17

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.18

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.18.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{6}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 6} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.18.2

Умножим $2$ на $6$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{\cos (30) \cdot \sin (60)}{\cot (30)}$

Этап 1.19

Разделим дроби.

$\frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{\sin (60)}{1} \cdot \frac{\cos (30)}{\cot (30)}$

Этап 1.20

Выразим $\cot (30)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{\sin (60)}{1} \cdot \frac{\cos (30)}{\frac{\cos (30)}{\sin (30)}}$

Этап 1.21

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\cos (30)}{\sin (30)}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{\sin (60)}{1} (\cos (30) \frac{\sin (30)}{\cos (30)})$

Этап 1.22

Запишем $\cos (30)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{\sin (60)}{1} (\frac{\cos (30)}{1} \cdot \frac{\sin (30)}{\cos (30)})$

Этап 1.23

Сократим общий множитель $\cos (30)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.23.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{\sin (60)}{1} (\frac{\cos (30)}{1} \cdot \frac{\sin (30)}{\cos (30)})$

Этап 1.23.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{\sin (60)}{1} \sin (30)$

Этап 1.24

Разделим $\sin (60)$ на $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12} + \sin (60) \sin (30)$

Этап 1.25

Точное значение $\sin (60)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (30)$

Этап 1.26

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Этап 1.27

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.27.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Этап 1.27.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4}$

Этап 2

Чтобы записать $\frac{\sqrt{3}}{4}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $12$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{\sqrt{3}}{4}$ на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Этап 3.2

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{\sqrt{3}}{12} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{12}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3}{12}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} + 3 \cdot \sqrt{3}}{12}$

Этап 5.2

Добавим $\sqrt{3}$ и $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{12}$

Этап 6

Сократим общий множитель $4$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 (\sqrt{3})}{12}$

Этап 6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 3}$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

Десятичная форма:

$0.57735026 \dots$